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■ 三平方の定理、立体の体積・表面積
[解説]
■ 右図のような立体の体積・表面積は,四角錐の高さなどを三平方の定理で求めてから計算します。

■ 右図は底面が1辺の長さ4cmの正方形,側面が1辺の長さ4cmの正三角形です。

 □ 体積を求めるには底面積×高さ÷3の公式を使いますが,そのためには高さOHを先に計算しておく必要があります。

  • (1) OHを求めたい←(2)AHを求めたい←(3)ACを求める
  • (3) △ABCは直角二等辺三角形でAC2=AB2+BC2

  • AC=4√2
  • (2) AH=2√2
  • (3) OA2=AH2+OH2 だからOH=2√2
  • ゆえに 四角錐O-ABCDの体積は(cm3)
 □ 表面積を求めるには側面の三角形の高さが必要です。
  • OA2=AM2+OM2 だからOM=2√3
  • ゆえに 四角錐O-ABCDの表面積は
  • (2√3×4÷2)×4+16=16√3+16(cm2)

■問題■・・・(む)は難しい問題です。
右図の四角錐の底面は1辺の長さ6(cm)の正方形,側面は等しい辺の長さが2√7(cm)の二等辺三角形です。
この四角錐の体積は(cm3
ア=  イ=
この四角錐の表面積は(cm2)
ウ=  エ=  オ=

右図は1辺の長さが6cmの正四面体です。
(む)この正四面体の体積は(cm3)
この正四面体の表面積は(cm2)
ア=  イ=
ウ=  エ=

3 右図は,AB=4cm,BC=3cm,BF=5cmの四角柱を頂点A,C,Fを通る平面で切ったものです。このとき,三角錐B-AFCの
体積は  (cm3)
4 右図は,底面の半径が3cm,母線の長さが6cmの円錐です。この円錐の
体積は π(cm3)
ア=  イ=
表面積はπ(cm2)
(む)
 右図は,底面の半径が3cm,高さが4cmの円柱を底面の直径ABの周りに1回転したときにできる回転体の断面積を考えたものです。底面の中心Oから半径OBに沿ってxcmのところでOBに垂直な平面で切るとき,断面積をxの関数で表わすと断面積(単位cm2)
 ( -x2
(※ ABを軸として回転すると,直径CDよりも遠いところがあります。)

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