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■ N進法 ■

■ 解説 (以下は4桁で解説しますが,他の桁数でも同様です.)
■ 10進法


10進法で表わした数(10進数) 
3456
は,
3×103+4×102+5×10+6
を表わします.
一般に,10進法で表わした数について
abcd(10)=a×103+b×102+c×10+d

※ (10)は10進法で表わした数であることを示す.書かなくても分るときは,書かなくてよい.

ただし,10進法では10になると位が1つ上がるので,各位の数字は0〜9です.(先頭が0のときは桁数が減ります.)
0 a, b, c, d9
■ 2進法


2進法で表わした数(2進数) 
1101
は,
1×23+1×22+0×2+1
を表わします.

この数を10進数に直せば,8+4+0+1=13 になります.
一般に,2進法で表わした数について
abcd(2)=a×23+b×22+c×2+d

※ (2)は2進法で表わした数であることを示す.書かなくても分るときは,書かなくてよい.

ただし,2進法では2になると位が1つ上がるので,各位の数字は0〜1です.(先頭が0のときは桁数が減ります.)
0 a, b, c, d1
例 1101 , 1111 , 101 , 10
■ 3進法


3進法で表わした数(3進数) 
2012
は,
2×33+0×32+1×3+2
を表わします.

この数を10進数に直せば,54+0+3+2=59 になります.
一般に,3進法で表わした数について
abcd(3)=a×33+b×32+c×3+d

※ (3)は3進法で表わした数であることを示す.書かなくても分るときは,書かなくてよい.

ただし,3進法では3になると位が1つ上がるので,各位の数字は0〜2です.(先頭が0のときは桁数が減ります.)
0 a, b, c, d2
例 2101 , 1221 , 2111, 11
■ 8進法


8進法で表わした数(8進数) 
6704
は,
6×83+7×82+0×8+4
を表わします.

この数を10進数に直せば,3072+448+0+4=3524 になります.
一般に,8進法で表わした数について
abcd(8)=a×83+b×82+c×8+d

※ (8)は8進法で表わした数であることを示す.書かなくても分るときは,書かなくてよい.

ただし,8進法では8になると位が1つ上がるので,各位の数字は0〜7です.(先頭が0のときは桁数が減ります.)
0 a, b, c, d7
例 7650 , 6402 , 77 , 17
■ 16進法


16進法で表わした数(16進数) 
fa03
は,
f×163+a×162+0×16+3
を表わします.

※16進数を表わすには,16種類の文字が必要です.このために,0〜9 に加えてa , b , c , d , e , f を使います.このとき,a は1文字で10を表わします. b は1文字で11を,・・・,f は1文字で15を表わします.

この数を10進数に直せば,61440+2560+0+3=64003 になります.
一般に,16進法で表わした数について
pqrs(16)=p×163+q×162+r×16+s

※ (16)は16進法で表わした数であることを示す.書かなくても分るときは,書かなくてよい.

ただし,16進法では16になると位が1つ上がるので,各位の数字は0〜fです.(先頭が0のときは桁数が減ります.)
0 p, q, r, sf
例 ff00 , feca , 3fe0 , e8c

(要約) ■ n進法

n進法で表わした数(n進数 : nは2以上の整数) 
○△□●
は,
×n3+×n2+×n+
を表わします.

※ n進数を表わすには,n種類の文字が必要です.0〜9で10種類,さらにa〜zで26種類,計36種類を使えば36進数が表せます.英字の大文字と小文字を区別してA〜Zまでも加えると,計62種類の文字で62進数が表わせます.

■問題1 例にならって,次の各数を10進数に直しなさい.( )内は,それが何進数であるかを表わしています.


 507(8)=5×82 + 0×8 + 7  (= 320 + 0 + 7 )
= 327
◇5進数の問題◇ 

◇2進数の問題◇ 

◇8進数の問題◇ 

◇3進数の問題◇ 

◇16進数の問題◇ 

■解説

■復習[ 商と余りの関係 ]

A÷B=Q・・・R のとき A= BQ+R となる.


9÷2 = 4・・・1 のとき 9=2×4 + 1
(証明)
割り算の仕方を考えると,A÷B=Q・・・R のとき,
割り算の中は「引き算だから」
A−BQ=R
移項すると,A= BQ+R
■ 10進数を2進数に直すには
(1) まず,
a×23+b×22+c×2+d
の形で d を求めるには,2で割った余りを求めるとよい.
(2) 次に
c を求めるには,上で求めた商a×22+b×2+c を2で割って余りを求めるとよい.
(3) 同様にして商が0になるまで余りを並べれば,できあがり.

 10進数の5を2進数に直すには
(1)
5÷2=2・・・1 ⇔ 5=2×2 + 1
(2)
次に,上で求めた「商」の2は2以上だから,さらに2を2で割って
2÷2=1・・・0 ⇔ 21×2 + 0
(最後の商1は 1÷2 = 0・・・1  ⇔ 10×2 + 1 )
(3)
結局
5 = ( 1 ×2 + 0 )2 + 1
 = 1×22+0×2+1 = 101(2)
参考
( a×22+b×2+c) 2 + ↑ 2で割った余りd
↑(2で割った商)








左の方法をまとめると,次の図になります.
■ 10進数を3進数に直すには
(1) まず,
a×33+b×32+c×3+d
の形でdを求めるには,3で割った余りを求めるとよい.
(2) 次に
c を求めるには,上で求めた商a×32+b×3+c を3で割って余りを求めるとよい.
(3) 同様にして商が0になるまで余りを並べれば,できあがり.

 10進数の14を3進数に直すには
(1)
14÷3=4・・・2 ⇔ 14=4×3 + 2
(2)
次に,上で求めた「商」の4は3以上だから,さらに4を3で割って
4÷3=1・・・1 ⇔ 4 1×3 + 1
(最後の商1は 1÷4=0・・・1 )
(3)
結局
14 = ( 1×3 + 1)3 + 2
 = 1×32+1×3+2 = 112(3)
参考
(a×32+b×3+c) 3 + ↑ 3で割った余り d
↑(3で割った商)








左の方法をまとめると,次の図になります.
■ 10進数を16進数に直すには
(1) まず,
a×163+b×162+c×16+d
の形でdを求めるには,16で割った余りを求めるとよい.
(2) 次に
c を求めるには,上で求めた商a×162+b×16+c を16で割って余りを求めるとよい.
(3) 同様にして商が0になるまで余りを並べれば,できあがり.

ただし,1つの文字で10,11,12,...,15を表わすには a,b,c,...,f を用いる.

 10進数の167を16進数に直すには
(1)
167÷16=10・・・7 ⇔ 167=10×16 + 7

(2)
10をaで表わして
 a×16+7= a7(3)
16進数に直す計算の例
1つの文字で10,11,12,...,15を表わすには a,b,c,...,f を用いる.


だから
 2828 = 11×162 + 0×16 + 12 = b0c(16)



だから,
 2028 = 7×162 + 14×16 + 12 = 7ec(16)

■ 問題2 10進数で表わされた次の各数を16進数に直しなさい(ただし,1つの文字で10 , 11 , 12 , ..., 15 を表わすには a, b ,c , ... , f を[英小文字で]用いるものとします.)

[ 0勝 / 0敗 ]



       ↓何度も押す
(計算)   

■ 問題3 10進数で表わされた次の各数を8進数に直しなさい

[ 0勝 / 0敗 ]



       ↓何度も押す
(計算)   

■ 問題4 次の例にならって問題を解きなさい.

 右図のように,一度10進数に直せばm進数をn進数に直すことができます.


5進数の 123(5) を7進数に直すには,
  123(5) = 1
×52 + 2×5 + 3
  = 38(10)
  = 5×7 + 3 = 53(7)
進数の 進数に直しなさい. [ 0勝 / 0敗 ]



       ↓何度も押す
(計算)   

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