２次方程式の解の公式

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■はじめに

■要点　（ｘ+○）²＝□　の形　を作る。

ｘ²＝□　→　ｘ＝±√□　です。・・・例１
その応用として

（ｘ+○）²＝□
　→　ｘ+○＝±√□
　→　ｘ＝-○±√□　です。・・・例２

要するに，（ｘ+○）²＝□　の形にできれば解けるので，（ｘ+○）²＝□　の形に変形することを考えます。

■なお，(　　)²を作るには，次の変形技術が重要です。

例１
ｘ²＝3　→　ｘ＝±√3

例２
（ｘ+5）²＝3
　→　ｘ+5＝±√3
　→　ｘ＝-5±√3

■２次方程式の解の公式の導き方（左側が具体的な数値での変形。右側は文字での変形です。）

方程式：　3ｘ²+5ｘ+1＝0	方程式：　aｘ²+bｘ+c＝0 (a≠0)
両辺を3で割る：定数を右辺に移項する：（ｘ+○）²の形にする：ｘ+○＝±√□の形にする： x=　の形で答える：	両辺をaで割る：定数を右辺に移項する：（ｘ+○）²の形にする：ｘ+○＝±√□の形にする： x=　の形で答える：
・・・答	・・・答

■「公式を使う」とは，
個々の係数について１つずつ上記のように変形して解くのではなく，右の公式にすべての仕事を任せておいて，結果だけを使うことを言います。
だから，「２次方程式の解の公式を使って解く」とは，3ｘ²+5ｘ+1＝0　から

を使って，直ちに

・・・答　とすることを言います。

■現行の学習指導要領
において、「中学校では２次方程式の解の公式を習わない」とは，3ｘ²+5ｘ+1＝0　から直ちにを答えさせる問題は考えていないということで，左のように順に変形して解く誘導問題は係数が分数にならなければ学習指導要領の範囲内です。

.■出題例と対応（作者の判断）

出題例	対応
２次方程式の解の公式を証明しなさい。	(こういう問題は出ない。高校生でもほとんどできない。)
3ｘ²+5ｘ+1＝0　を解け。	（解の公式を覚えていなければ解けないような問題だから，出せない。）
x²+5x+2=0　について次の問に答えなさい。 (1) この方程式を　（ｘ+［ア］）²＝［イ］　のように変形するとき，［ア］［イ］に入る定数を答えなさい。 (2) この方程式を解きなさい。	（平方完成の変形において係数が分数となるので扱わない。）
x²+4x+2=0　について次の問に答えなさい。 (1) この方程式を　（ｘ+［ア］）²＝［イ］　のように変形するとき，［ア］［イ］に入る定数を答えなさい。 (2) この方程式を解きなさい。	(1) x²+4x+4=-2+4 (x+2)²=2 となるから［ア］=2，［イ］=2 (2) x=-2±√2