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問題以上,答以下
 文章題では,問題をじっくり読むことが大切です.
ここでは答を気にせずに,問題を読むことに集中しましょう.


《もとの問題》
 図のように,ADBC,AD=3cm,BC=10cmの台形ABCDがある.対角線AC,DBの交点をEとする.また,AC,DBの中点をそれぞれF,Gとし,AGの延長とBCの交点をHとする.
 次の問に答えなさい.
(1) 線分BHの長さを求めなさい.
(2) 線分GFの長さを求めなさい.
(3) △AGEの面積をS,△DECの面積をTとするとき,SとTの比を最も簡単な整数の比で表わしなさい.
(「兵庫県 平成11年度」問題の引用)


《答える前に》
 GはDBの中点で,GFHCADです.
 GFの延長とABとの交点をPとおくと,PGの長さはいくらになりますか.
 , 1.5, −−−(ア)

 上の(ア)の値を用いると,BHの長さはいくらになりますか.
, , −−−(1)

 △ABCにおいて,P,Fは,それぞれAB,ACの中点です.PFの長さはいくらですか.
 −−−(イ)


 (ア)(イ)から,GFの長さはいくらですか.
, 3.5, , 4.5, −−−(2)
 
(準備体操)
 三角形の面積=(底辺)×(高さ)÷2です.
 だから,底辺の長さが等しい右図の2つの三角形△ABCと△DCBでは,面積の比は,高さの比に等しくなります.
 また,右図のACDが直線でAC:CD=5:3のとき,「相似図形」の性質として,高さの比AE:DFは斜辺の比AC:CDに等しいので,△ABC:△DCBの面積比は5:3となります.
 さらに,底辺も高さも異なる右図のような三角形では,底辺の比が7:3で,高さの比は5:4なので,S:T=35:12となります.−−−(ウ)
 さて,底辺の長さも,高さも異なる右図の△AGEと△DECの面積比を求めるために,まずGE:EDを考えます.
 △GFEと△DAEは相似なのでGE:ED=GF:DAです.したがって,GE:EDはいくらですか.
2:3, 3:3, 3.5:3, 4:3, 5:3 −−−(エ)
 次に,△AEDと△CEBは相似なので,AE:EC=AD:CBです.
したがって,AE:ECは
3:53:73:10−−−(オ)

 (ウ)で用いた方法に(エ)(オ)を適用すると
△AGE:△DECが求まります.−−−(3)

(もとの問題の答を見ておく→)


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 (1) 3 (2) 3.5 (3) 7:20
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