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2次関数と直線で作られる図形の面積
《問題》
 右の図で,曲線は関数y=のグラフであり,2点A,Bはこの曲線と直線y=8との交点で,点Aからx軸に垂線ACをひきます.また点Pは,この曲線上を原点Oから点Bまで動きます.△PACと△PABの面積が等しくなるとき,点Pの座標を求めなさい.
 
 
 
 
 
(「H11埼玉県 高校入試問題」の引用)
■考え方
△PAC,△PABの面積をPのx座標で表わし,これらが等しくなるようなxを求めます.
△PACにおいて,ACを底辺とし,PからACまでの距離を高さと考えると,底辺AC=8
また,y=8とy=の交点を求めると,(−4,0),(4,0)になるから,
高さをPのx座標xを用いて表わすと[ア]
ゆえに,△PAC=8([ア])÷2・・・(1)

 

[ア]

x−4
x+4

△PABにおいて,ABを底辺とし,PからABまでの距離を高さと考える.
Pのy座標をxで表わすとだから,
高さは[イ],AB=8
ゆえに,△PAB=8([イ])÷2・・・(2)
[イ]

8−
8+

(1)(2)が等しくなるようなxの値を求めると
8(x+4)÷2=8(8−)÷2 より x+4=8−
+2x−8=0
x=−4,2
ここで,点Pは,この曲線上を原点Oから点Bまで動くのだから,0≦x≦4
ゆえに,x=[ウ]
[ウ]

−4

問題の解答を見る↓


 右の図のように,関数y=のグラフ上に2点A,Bがあり,点A,Bのx座標はそれぞれ4,−6である.
 関数y=のグラフ上に点Pをとり,2点A,Pを通る直線がy軸と交わる点をQとするとき,次の(1),(2)の問いに答えなさい.ただし,点Pのx座標は点Aのx座標より大きいものとする.
(1) 点Pのx座標が6であるとき,点Qのy座標を求めなさい.
(2) 点Aが線分PQの中点となるとき,△BOPと△ABQの面積の比を求めなさい.
 
 
(「H11千葉県 高校入試問題」の引用)
■考え方
(以下において,解答欄に分数を記入するときは,例えば3分の5ならば 5/3 のように 分子/分母 の形で記入しなさい.例えばマイナス3分の5のように負の数になるときは, -5/3 のように 符号を分子に付けなさい.)
(1)
 点Pはy=上の点だから,そのx座標が6のとき,y座標は[ア]になる.
同様に,点Aのy座標は[イ]になる.
[ア]=
[イ]=

2点A,Pを通る直線の方程式をy=ax+bとおいて,係数a,bを求めると,
点Pを通ることから,
9=6a+b・・・<1>
点Aを通ることから,
4=4a+b・・・<2>
連立方程式<1><2>を解くと,a=[ウ],b=[エ]だからQのy座標は[エ]である.
[ウ]=
[エ]=

(2)
 点A(4,・・・)が線分PQの中点となるとき,Pのx座標は[オ]で,y座標は[カ]である.
2点A,Pを通る直線の方程式をy=ax+bとおいて,係数a,bを求めると,
点Pを通ることから,
16=8a+b・・・<3>
点Aを通ることから,
4=4a+b・・・<4>
連立方程式<3><4>を解くと,a=[キ],b=[ク]だからQのy座標は[ク]である.
[オ]=
[カ]=
[キ]=
[ク]=

 △BOPの面積は,次の図のDOを底辺とする2つの三角形,△DBOと△PDOの面積の和と考えることができる.
 2点P,Bを通る直線の方程式を求めてDのy座標を求める:
2点B,Pを通る直線の方程式をy=ax+bとおいて,係数a,bを求めると,
点Pを通ることから,
16=8a+b・・・<5>
点Bを通ることから,
9=−6a+b・・・<6>
連立方程式<5><6>を解くと,a=[ケ],b=[コ]だからQのy座標は[コ]である.
ゆえに,△BOP=△DBO+△PDO=[サ]
[ケ]=
[コ]=
[サ]=

 同様にして,△ABQの面積は,次の図のEQを底辺とする2つの三角形,△EBQと△AEQの面積の和と考えることができる.
 2点A,Bを通る直線の方程式を求めてEのy座標を求める:
2点A,Bを通る直線の方程式をy=ax+bとおいて,係数a,bを求めると,
点Aを通ることから,
4=4a+b・・・<7>
点Bを通ることから,
9=−6a+b・・・<8>
連立方程式<7><8>を解くと,a=[シ],b=[ス]だからQのy座標は[ス]である.
ゆえに,△ABQ=△EBQ+△AEQ=[セ]
[シ]=
[ス]=
[セ]=

以上により,△BOP:△ABQ=[サ]:[セ]=[ソ]:[タ] [ソ]=
[タ]=

問題の解答を見る↓


 右の図において,曲線(1)は関数y=xのグラフであり,曲線(2)は関数y=axのグラフである.
 点Aは曲線(1)上にあり,そのx座標は3である.点Bはx軸上にあり,線分ABはy軸に平行で,点Cは曲線(2)と線分ABとの交点である.
 また,点Dは曲線(1)上にあり,線分ADはx軸に平行である.直線CDの傾きは−1であり,点Eは直線CDとx軸との交点である.
 原点をOとするとき,次の問いに答えなさい.
(ア) 曲線y=axのaの値を求めなさい.
(イ) 三角形ACDと三角形BDEの面積の比を最も簡単な整数の比で表わしなさい.
 
 

(「H11神奈川県 高校入試問題」の引用)

■考え方

分かるものから順に座標を記入していく.
Aのx座標が3だから,
  • Aのy座標は[あ]である.
  • Bのx座標は[い]で,y座標は[う]である.
  • Dのx座標は[え]で,y座標は[お]である.
[あ]=
[い]=
[う]=
[え]=
[お]=

線分CD(DE)の傾きが−1で,点Dの座標が(え,お)であることから,
直線CDの方程式をy=−x+bとおいてbの値を求めると,b=[か]となる.これにより,
  • Cのx座標が[き]だから,y座標は[く]となる.
  • Eのy座標が0だから,x座標は[け]となる.
[か]=
[き]=
[く]=
[け]=

(ア)
 Cの座標をy=axに代入すると,a=[こ]
[こ]=

(イ)
 DA=6,AC=6だから△ACD=[さ]
 BE=3,AB=9だから△BDE=[し]
ゆえに,△ACD:△BDE=[す]:[せ]
[さ]=
[し]=
[す]=
[せ]=

 右の図のように,関数y=のグラフ上に,x座標がそれぞれ−4,2となる2点A,Bをとる.このとき,次の(1),(2)の問いに答えよ.
(1) 直線ABの式を求めよ.
(2) 直線ABとy軸との交点をCとする.また,関数y=のグラフ上に点Pをとって,△OCPの面積が△OABの面積のになるようにしたい.このとき,点Pの座標を求めよ.ただし,Pは原点OとAの間にとるものとする.
(「H11新潟県 高校入試問題」の引用)
■考え方
次の空欄を埋めなさい.例えば,答が 3分の5 のような分数になるときは 5/3 のように記入し,答が負の数になるときは -5/3 のように,符号を分子につけなさい.
(1)
 点Aは関数y=のグラフ上にあり,x座標が−4だから,y座標は[ア]である.
 また,点Bも関数y=のグラフ上にあり,x座標が2だから,y座標は[イ]である.
[ア]=
[イ]=

 2点A(−4,[ア]),B(2,[イ])を通る直線の方程式を,y=ax+bとおくと,
Aを通ることから 4=−4a+b・・・<1>
Bを通ることから 1=2a+b・・・<2>
<1><2>より,a=[ウ],b=[エ]
ゆえに,直線の方程式は,y=[ウ]x+[エ]・・・<3>
[ウ]=
[エ]=
 

(2)

 切片の値bから,点Cのy座標は,y=[オ]

このとき,△OAB=△OBC+△OCA=2・2/2+2・4/2=6
他方,PからY軸までの距離をkとおくと,△OCP=2・k/2=k
となるから,面積がになるようにするには,k=[カ]とすればよい.

PはOとAの間にあるからPのx座標は,x≦0
ゆえに,Pの座標は,x=[キ],y=[ク]
 

[オ]=
[カ]=
[キ]=
[ク]=
 


 

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解答
P(2,2)        問題に戻る↑
(1) −6  (2) 6:5        問題に戻る↑