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華麗な整数の舞い

■ 一般に認められている事柄

 角谷の予想とは,次のような整数問題をいいます.(角谷静夫 1911〜2004,数学者)

 「2以上の整数をどのように選んでも
    (1) 偶数ならば2で割る. (2) 奇数ならば3倍して1加える.
  という操作を繰り返し行うと,最後は必ず1になる」  というものです.
 例として,27までの整数から始めたときの途中経過は次の表のようになります.左端の数から始め,右に進みます.
1                                              
2 1                                            
3 10 5 16 8 4 2 1                                
4 2 1                                          
5 16 8 4 2 1                                    
6 3 10 5 16 8 4 2 1                              
7 22 11 34 17 52 26 13 40 20 10 5 16 8 4 2 1              
8 4 2 1                                        
9 28 14 7 22 11 34 17 52 26 13 40 20 10 5 16 8 4 2 1        
10 5 16 8 4 2 1                                  
11 34 17 52 26 13 40 20 10 5 16 8 4 2 1                  
12 6 3 10 5 16 8 4 2 1                            
13 40 20 10 5 16 8 4 2 1                            
14 7 22 11 34 17 52 26 13 40 20 10 5 16 8 4 2 1            
15 46 23 70 35 106 53 160 80 40 20 10 5 16 8 4 2 1            
16 8 4 2 1                                      
17 52 26 13 40 20 10 5 16 8 4 2 1                      
18 9 28 14 7 22 11 34 17 52 26 13 40 20 10 5 16 8 4 2 1      
19 58 29 88 44 22 11 34 17 52 26 13 40 20 10 5 16 8 4 2 1      
20 10 5 16 8 4 2 1                                
21 64 32 16 8 4 2 1                                
22 11 34 17 52 26 13 40 20 10 5 16 8 4 2 1                
23 70 35 106 53 160 80 40 20 10 5 16 8 4 2 1                
24 12 6 3 10 5 16 8 4 2 1                          
25 76 38 19 58 29 88 44 22 11 34 17 52 26 13 40 20 10 5 16 8 4 2 1
26 13 40 20 10 5 16 8 4 2 1                          
27 82 41 124 62 31 94 47 142 71 214 107 322 161 484 242 121 364 182 91 274 137 412 206
  (27についてはこの後さらに)
103 310 155 466 233 700 350 175 526 263 790 395 1186 593 1780 890 445 1336 668 334 167 502 251 754 377 1132 566 283 850 425 1276 638 319 958 479 1438 719 2158 1079 3238 1619 4858 2429 7288 3644 1822 911 2734 1367 4102 2051 6154 3077 9232 4616 2308 1154 577 1732 866 433 1300 650 325 976 488 244 122 61 184 92 46 23 70 35 106 53 160 80 40 20 10 5 16 8 4 2 1
と続きます.

 問題が簡単なので,誰にでも証明できそうに見えて,必ず1に行き着くことの証明に誰も成功していません.だから,角谷の定理と呼ばれずに,角谷の予想と呼ばれます.
 3×1012億以下の数に対してこの予想が正しいことが証明されているそうです.(和田秀男著「数の世界」岩波書店 1989年版 p.22〜p.23)
 この問題を扱った日本語ホームページも,幾つかあります.

■小谷研究室ホームページ  http://www.tuat.ac.jp/~kotani/3xplus1.htm
■数学者の密室  http://www.asahi-net.or.jp/~KC2H-MSM/mathland.htm
などを見てください.)


■ ここからは,このホームページ作者の自由研究です.途中に,中学生にお手伝いしてもらえる場所↓が作ってあります.
(この研究は完成していません.最後の1手で崩れることが,よくあるので,話として読んでもらえればOKです.先に証明できたら是非教えてください.初等整数論の未解決問題は,問題の意味が誰にでも分かるので,数学愛好家の自由研究によく選ばれるそうです.しかし,数学者の本音としては,今までにない新しい手法で解かれることを期待していると思います.たぶん,ただ解けただけなら数学の進歩に対してほとんど影響がないでしょう.)

1 問題の拡張
 なぜ,2,3,1なのかを考えるために,問題を広げてみます.

 2以上の整数を考えます.
 (1) 正の整数aで割って割り切れたら割ります.
 (2) aで割り切れないとき,整数bを掛けて,整数cを加えます.
 これを繰り返します.
 
 
備考
アの操作
簡単(↓)
イの操作
−1
簡単(↓)
角谷の予想
難しい(↓)
ウの操作
1又は2
簡単(↓)
エの操作
不成立(↓)
オの操作
−1
不成立(↓)

 角谷の予想は,この表では,a=2,b=3,c=1の場合に当たります.しかし,この問題は大変難しいので,まず,ア,イ,ウ,エ,オのように問題を変更して取り掛かり方を考えてみます.

このホームページ作成後,海外のホームページでa,b,cを複素数に拡張した例が示されていることが分かりましたので
参考にしてください.(読めたら)       http://www.geocities.com/CapeCanaveral/Lab/4430/collatz.html     


2 問題の変更
 アの操作  a=2,b=1,c=1の場合(言葉で言えば,(1) 2で割って割り切れたら割ります.(2) 2で割り切れなければ,1加えます.)

 収束という言葉も避けて,何回まで生き残れるかをここではゲーム風に滞空時間とでも呼んでおきます.
例えば,3→4→2→1なので3の滞空時間は3です.(ここでは元の数は1回に数えないこととします.)

滞空時間
元の数
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1
2
1
 
 
 
 
 
 
 
 
3
3
4
2
1
 
 
 
 
 
 
2
4
2
1
 
 
 
 
 
 
 
5
5
6
3
4
2
1
 
 
 
 
4
6
3
4
2
1
 
 
 
 
 
4
7
8
4
2
1
 
 
 
 
 
3
8
4
2
1
 
 
 
 
 
 
7
9
10
5
6
3
4
2
1
 
 
6
10
5
6
3
4
2
1
 
 
 
6
11
12
6
3
4
2
1
 
 
 
5
12
6
3
4
2
1
 
 
 
 
6
13
14
7
8
4
2
1
 
 
 
5
14
7
8
4
2
1
 
 
 
 
5
15
16
8
4
2
1
 
 
 
 
4
16
8
4
2
1
 
 
 
 
 
9
17
18
9
10
5
6
3
4
2
1
8
18
9
10
5
6
3
4
2
1
 
8
19
20
10
5
6
3
4
2
1
 
7
20
10
5
6
3
4
2
1
 
 
8
21
22
11
12
6
3
4
2
1
 
7
22
11
12
6
3
4
2
1
 
 
7
23
24
12
6
3
4
2
1
 
 
6
24
12
6
3
4
2
1
 
 
 
8
25
26
13
14
7
8
4
2
1
 
7
26
13
14
7
8
4
2
1
 
 
7
27
28
14
7
8
4
2
1
 
 
6
28
14
7
8
4
2
1
 
 
 
7
29
30
15
16
8
4
2
1
 
 
6
30
15
16
8
4
2
1
 
 
 
6
31
32
16
8
4
2
1
 
 
 
 元の数1〜100までと滞空時間の関係をグラフにすると,次の図のようになります.このグラフは,部分が全体に相似になるという自然界によく見られる特徴をもっています.例えば33〜48までの滞空時間は,17〜32までの滞空時間と形が同じです.(値は+2です.)

 そこで,この関係を手がかりに,アの操作で進めたときは,どんな数から初めても1に落ち着くことが次のように示されます.
《問題》


 
 (空欄を埋めてください.↓)
1 例えば,39を二進法で表わすと, (2)となります.
 
 

2 二進法で表わした場合,2の倍数は1の位が になり,そうでない場合は になります.
 
 


3 そこで,アの操作で進めると,
 (一つ選んでください.↓)
 (1) その数が,2の倍数ならば,(左に1けた移動させる右に1けた移動させる)ことになり,
 (2) その数が,2の倍数でなければ1を加えることになります.
 
 
 

 例えば,11011100111(2)に1を加えると,右から連続した1は(オセロのように)0に変わり,それまで最も右にあった0が1に変わります.
 例   11011101000(2)

 こうして,(2)(1)(1)(1)・・・と操作すると11011101(2)となり,元の数から0が1つ減ります.
 0の数は有限個ですから,いずれ11111・・(2)へ,そして10000・・・(2)へ,ついに1(2)になります.(証明終り)


→ファイルサイズが大きくなってきたので改ページ(続く)