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《因数分解公式の相互関係》・・・最強の因数分解公式を求めて・・・

※ 題名について:高校で2次方程式の解の公式を習えば,どんな2次方程式でも解くことができ,こ
れを用いてどんな2次式でも因数分解できます。高校以上では2次式の「最強の因数分解公式」とは
解の公式を用いた因数分解公式のことで,特に話題にもなりません。ここで取り上るのは,解の公式
を習っていない段階で,「最強の」因数分解公式としてはどんなものが考えられるかということで,ここ
で述べる内容は中学卒業後,ただちにひっくり返されますので,そのようなものとして読んでください。

《解説》
 共通因数があれば,第1番にくくり出しておくとすれば,2次式の因数分解は,次のいずれかの公式によって行うこととなります.ただし,公式オは中学校では習いません.(高校で,「たすきがけ因数分解」と呼ばれる公式です.)

ア x+2xy+y=(x+y)2 
イ x−2xy+y=(x−y)
ウ x−y=(x+y)(x−y)
エ x+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)
オ acx+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d)
 これらの公式は,「論理的には」オの公式が最も適用範囲が広く,ア,イ,ウ,エはオの特別な場合となっています.
オにおいて,a=1,c=1,b=p,d=q とすれば,エが得られます.だから,エはオの特別な場合にすぎません.

また,エにおいて,p=1,q=−1 とすれば,ウが得られます.だから,ウはエの特別な場合にすぎません.

さらに,エにおいて,p=−1,q=−1 とすればイが,p=1,q=1 とすればアが得られますので,ア,イはエの特別な場合にすぎません.

 このように考えれば,適用範囲が最も広い因数分解公式は,高校(1年)までではオ,中学までではエということになります.
例1
 x+0x−25
積が−25,和が0となる2数は,5と−5だから,(原式)=(x+5)(x−5)
例2
 x+12x+36
積が36,和が12となる2数は,6と6だから,(原式)=(x+6)(x+6)
ただし,このまま,放っておいてはダメで,(原式)=(x+6)に直します.
例3
 x−14x+49
積が49,和が−14となる2数は,−7と−7だから,(原式)=(x−7)(x−7)
ただし,このまま,放っておいてはダメで,(原式)=(x−7)に直します.
例4
 4x+12x+9は,xの係数が1でないので,2x=Aと置き換えて,A+6A+9とすれば,エの公式が使えますが,そのような遠まわりは大変なの,通常はアの公式で因数分解します.
 4x−12x+9,4x−9についても同様です.
 上記の例4のような場合があるために,結局エの公式を覚えるだけでは足りずに,「ア,イ,ウ,エの全部が使えるように練習しましょう」ということになります.
 
■ ここまでの要約 ■
であるが,実際に問題を解くには,全部必要.

 上で見たように,ウの公式は,「論理的には」特に優位な位置を占めていませんが,「実際の計算においては」どんな因数分解でもウの公式で解くことができることを示してみます.(他の方法でも解けない問題は,考えないこととします.例えばx+1は高校の数学Bで習う複素数を使わないと因数分解できないので,中学校では,「x+1を因数分解しなさい」という問題は出しません.)

 
ウ→エの例
ウ→アの例
ウ→イ
(ウ→アと同様)
ウ→オの例
 ( )を作ること分数計算になることを我慢すれば,オの公式(たすきがけ因数分解)の場合も含めて,すべてウの公式で解決することが分かります.
 このように考えれば,ウの公式が,「中学校の範囲で最強」の因数分解公式だと見ることもできます.
 なお,積が分数,和も分数となる2数をすばやく思いうかべることができる場合は,エの公式でオの問題を解決することができます.

(この計算を思いつくことは,実際にはむずかしいと思います.)
 以上のまとめ:
 
どうしてもできない問題が出てきたら,
a(○−□)
に持ち込む.


《問題》 
次の各式を因数分解しなさい.(答案は,半角小文字で,次の例のようにxの係数を正の数にして記入しなさい.)

例 (3x+2 )(4x-3 )


問 題
答 案
採 点
 +()x+() 
 

 ()() 
 


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