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接弦定理
《用語の解説》
接線と弦が作る角
右の図1のように,円の弦ABが接線ATと接点Aで交わっているとき,BATのことを接線と弦が作る角といいます.
角の内部にある孤
図1において,孤AB(赤で示した円周の一部分)を接線と弦が作る角の内部にある孤といいます.

図2のBATのように,接線ATと弦ABが作る角の大きい方(90以上の方)を考えるとき,接線と弦が作る角の内部にある孤は,赤で示した孤ABになります.

図1
 
図2
《接弦定理》
円の接線とその接点を通る弦の作る角は,その角の内部にある孤に対する円周角に等しい.
例1
 上の図1において,BAT=BCAが成り立ちます.
例2
 上の図2において,BAT=BCAが成り立ちます.


《問題》
 次の空欄に入る適当な語句を選んで,「接弦定理」の証明を完成させなさい.
(証明)
 円の接線と弦の作る角が(1)直角(90),(2)鋭角(90より小さい),(3)鈍角(90より大きい)の3つの場合に分けて示すこととします.
(1)BAT=90のとき

(漢字2文字を入れなさい↓)

弦ABはになるので,
(数字を入れなさい↓)
 BCA=
ゆえに.BAT=BCAが成り立ちます.

(2)BAT<90のとき
(BATとBCAを直接比べるのはむずかしいので,BCAに等しい他の角で比較しました.)
 右図のようにAを通る直径をAC’とすると,
(漢字3文字を入れなさい↓)
BCAとBC’Aは,いずれも(BAT内部の)孤ABに対する
だから等しい.
BCA=BC’A・・・ア
(以下の空欄に数字を入れなさい↓)
 また,AC’は直径だからABC’=となり,
BC’A+BAC’=
 一方,
BAT+BAC’=
 だから
 BC’A=BAT・・・イ
 ア,イより,BAT=BCAが成り立ちます.
(3)BAT>90のとき
(BATとBCAを直接比べるのはむずかしいので,(2)の結果を利用して.90よりも小さな角で等しいものを探し,右図のようにC”とT’をとります.)
BAT>90のとき,
BAT+BAT’=・・・ア
だから,BAT’<
(2)の結果から,
BAT’=BC”A・・・イ
ア,イより,
BAT+BC”A=・・・ウ
四角形AC”BCは円に内接するから
BCA+BC”A=・・・エ
ウ,エより,BAT=BCAが成り立ちます.(証明終り)
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