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自由研究 2-1

■ 分数はエジプト時代から知られていました.しかし,エジプト時代に用いられていた分数は,今日の分数とは少し異なり,分子が1の分数だけだったそうです.
 さて,分子が1の分数だけを使って,
   のように,二つの分数の和が,他の分数になるものを調べようと考えました.
  のように,分母が同じ分数のものは簡単に見つかるので除外して,分母が異なるものだけを考えることにしました.このような例としては,他に などがあります.どうすればこのような分数を作れるかを,試行錯誤しながら考えるというのが,ここでのテーマです.



《問題》
 互いに異なる正の整数 a,b,c で,  となる例を一つ見つけてください.
 
 



 
 

 同様にして,互いに異なる正の整数 a,b,c,d で, となる例を一つ見つけてください.
 
 
 




 
 
 

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どうしてもできないとき→

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 



 高校生になれば,数列の時間に「f(n-1)-f(n)型の数列」や「部分分数分解」を習うので,分母が1だけ異なる分数を用いて
  などとすることを思いつき,これを移項すれば,一つは例を作れます.

 しかし,分母の差が1以外のものは約分できるように仕組んでおかなければ難しいでしょう.



 もっと単純に a+b=c となるものを一つ考えて(例えば2+3=5)両辺をabcで割りますと,約分で

  (例 )になります.

 この方法では,分子が1の異なる3つの分数の和で分子が1となるものを作るという拡張も簡単です.
 

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