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連立方程式(加減法)


【連立方程式の解き方2(加減法)】
 
 連立方程式の解き方の基本は,1つの文字を消去してもう1つの文字だけの方程式にすることです.
 次の(1)(2)のような連立方程式ではyの係数が同じ(係数1)です.
 このような方程式は加減法で解くことができます.
3x+y=9・・(1)
2x+y=7・・(2)
 


【考え方】
 この式は
 ・・・・(1)
 ・・・・(2)
 の形をしています.

 (1)の両辺からを引いても等しいので
 □−
 ところで(2)によりに等しいので
     □−□−
 結局
 □−
 
要約すると
 (1)の左辺−(2)の左辺=(1)の右辺−(2)の右辺
 のような変形ができます.
 3x+y=9・・(1) 
-)2x+y=7・・(2) 

  x  =2
このxを(1)に戻すと
 6+y=9
 y=3    (x,y)=(2,3)・・・答

代入法でするか,加減法でするかの「見分け方は?」


【問題】

 1.
 次の答案は,連立方程式を加減法で解く途中経過を述べたものです.空欄に正しい式を入れなさい.

 5x+y=11・・(1) 
-)3x+y= 7・・(2) 
   =4 
消えます 
 x=2
 このxを(1)に戻すと
 10+y=11
 y=1    (x,y)=(2,1)・・・答


 2.
 次の答案は,連立方程式を加減法で解く途中経過を述べたものです.空欄に正しい式を入れなさい. 
 3x+2y=13・・(1) 
-)3x+ y= 8・・(2) 
    = 5 
消えます 
 このyを(2)に戻すと    (※戻すのは(1)でも(2)でもよい)
 3x+5=8
 3x=3
 x=1
       (x,y)=(1,5)・・・答

3.
 次の答案は,連立方程式を加減法で解く途中経過を述べたものです.空欄に正しい式を入れなさい. 
 3x+y=12・・(1) 
+)2x−y=−2・・(2) 
      
消えます 
 これより x=2
 このxを(1)に戻すと    (※戻すのは(1)でも(2)でもよい)
 6+y=12
 y=6
       (x,y)=(2,6)・・・答

【解説】
 
 x,yのどちらの係数もそろっていないときは何倍かしてそろえます.その時,両辺とも同じ倍数だけ掛けることに注意します.
 次の(1)(2)のような連立方程式では(1)の両辺を2倍するyの係数がそろいます.
3x+ y=1・・(1)
 x+2y=−3・・(2)
 
(1)の両辺を2倍すると 6x+2y=2・・(1)'
(1)'-(2):6x+2y=2・・(1)'
    -) x+2y=−3・・(2)


     5x   =5
      x=....y=..
※(1)を単に変形しただけのときは(1)'と書くことが多い.(3)としてもかまいません.
※※連立方程式では式がたくさん登場するので,どの式をどうすればどうなるのかが分かりやすいように式に番号を付けることが重要.書いている自分だけに分かってもだめです−−「答案は読んでもらうために作る.」「答案はただのメモや下書きとは違う.」


 次の(1)(2)のような連立方程式では(1)の両辺を2倍し,(2)の両辺を3倍するとyの係数はどちらも6になります.
 4x+3y=−1・・(1)
−5x+2y=7 ・・(2)
 
(1)の両辺を2倍すると   8x+6y=−2・・(1)'
(2)の両辺を3倍すると −15x+6y=21・・(2)'
(1)'-(2)':
        8x+6y=−2・・(1)'
    -) −15x+6y=21・・(2)'


       23x   =−23
      x=....y=..


【問題】

 4.
 次の答案は,連立方程式を加減法で解く途中経過を述べたものです.空欄に正しい式を入れなさい.

7x+3y=−4・・(1)
2x+ y=−1・・(2) 
 
 
(1)−(2)×          
  7x+3y=−4・・(1) 
 -)6x+3y=−3・・(2)' 

   x=−1
 このxを(2)に戻すと
 −2+y=−1
 y=1    (x,y)=(−1,1)・・・答



5.
 次の答案は,連立方程式を加減法で解く途中経過を述べたものです.空欄に正しい式を入れなさい.
 x+2y=−1・・(1)
2x+3y=0・・(2) 
 
  (1)×2−(2):
   2x+4y=−2...(1)'
 -) 2x+3y=0.....(2)


       ...(3)
   これを(1)に代入すると
   x=1
(x,y)=(3,−2)・・・答 


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