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《最大公約数と最小公倍数》
《解説》
■2つ以上の正の整数に共通な約数(公約数)のうち最大のものを最大公約数といいます.
■2つ以上の正の整数の共通な倍数(公倍数)のうち最小のものを最小公倍数といいます.
※最小公約数という言葉は使う値打ちがありません.なぜなら,公約数のうち一番小さい(正の)数は1に決まっているからです.
※最大公倍数は決められません.なぜなら,大きな(正の)公倍数は,次の例で分かるように限りなくあるからです.
例 2と3の公倍数:6,12,18,24,30,36,...
最大公約数を求める方法の1つは,共通な数で割れるだけ割っていく方法です.
 このとき,共通に割った数の積が最大公約数です.
 最小公倍数を求める方法は,これと同様ですが,割った数と残った数を掛けます.
次の例に示すように,3つ以上の数について最大公約数最小公倍数を求めるときは,「共通に割れる」という言葉の意味が変わります.最大公約数を求めるときには,「全部に共通」に割り切れなければ進んではいけませんが,最小公倍数を求めるときには,「一部でも割れたら割り」,他はそのまま残します.


《問題1》
 次の計算において,ア〜オに入る数を求めなさい.
ア=
 
イ=
ウ=
エ=
オ=
 



《解説》
最大公約数を求めるもう1つの方法は,素因数分解を利用する方法です.
 このとき,「共通な素因数に」「一番小さい個数」をつけたものが最大公約数です.
 最小公倍数を求めるには,「全部の素因数に」「一番大きな個数」をつけます.
 (高校ではこちらの方法が用いられます.)
 


《問題2》
 次の計算において,ア〜イに入る数を求めなさい.
ア=
イ=
 



《参考》
 上に示した2つの方法は,「共通な約数が分かる場合」「さらに素因数分解できる場合」に使えますが,そもそも何で割れるか分からないような場合には,次に示す第3の方法(ユークリッド互除法)で行うことができます.(この方法は,高校でも習わないのが普通です.プログラミング関連の分野で扱います.最小公倍数は最大公約数から求められます.)
例 
88348291 と 57605201 の最大公約数を求める場合(※)
簡単な例
36と27の最大公約数を求めるとき(何で割り切れるか分からないものとして考える)
36, 27, 9, 18, , 
(大きい方から小さい方を引き,小さい方の数と引いてできた数で同様に引いていく.同じ数字が並んだら答.)


《問題3》
 次の計算を完成させて208と117の最大公約数を求めなさい.
208,117,91,26,65,39,26,...

 



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