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合同の利用1


【解説】
 辺の長さが等しいことを証明するために,三角形の合同を用いることができます.
 上のような,2つの三角形△ABC,△DECについてAB=DEを証明するためには
 
三角形の合同条件の内の1つが成立することを示す
△ABC△DEC 
が言える
AB=DEが言える
 証明においては,見通しを立てることがとくに大切で,
三角形の合同条件の内の1つが成立するとを示せばよい
△ABC△DEC 
が言えればよい
AB=DE言うためには
のように,「〜を示すためには」「〜を示せばよい」という見通しを立てないとできません.
 今までに習ってきた (−3)[−5(x−1)2+{3(x+1)2−5}] のような計算問題の場合には,とにかく変形していけばできました.しかし,証明問題では,ある結論にたどり着くためには,その前に何を言わなければならないかという形で「逆を読む」ことが大切です.
 実際に証明を行うためには,「どの三角形の合同に持ち込むか」を決めることが特に重要です.


【問題】
(1)
 次の図において正三角形ABC,正三角形CDEの頂点を結ぶ線分ADと線分BEの長さが等しいことを証明するためには,どの三角形とどの三角形の合同を示せばよいか.
△ABC△ECDを示せばよい 

△ABE△EDAを示せばよい 

△ACD△BCEを示せばよい 

△ACE△DABを示せばよい 

△BCD△ACEを示せばよい 
 

(2)
 次の図において平行四辺形ABCDの対角線の交点をPとするとき,PE=PFを証明するためには,どの三角形とどの三角形の合同を示せばよいか.

△APE△CPFを示せばよい 

△DPE△BPFを示せばよい 

△ABP△CDPを示せばよい 

△APD△CPBを示せばよい 

仮定から結論を導く方法(証明)は1つだけとは限りません.次のイラストで示すように,いくつかの道筋が考えられることがあります.上の問題(2)は,解答が2つあります.



【解説】
 次のような,2つの三角形△ABC,△DECについてAB=DEを証明するために
△ABC△DECを利用するときは,三角形の合同条件
1 対応する3辺の長さがそれぞれ等しい.
2 2辺とその間の角がそれぞれ等しい. 
3 1辺とその両端の角がそれぞれ等しい. 
のうち,どれでも使えるわけではありません辺の長さが分らないから,三角形の合同を利用しているのだから,その辺を使わずに言える合同条件を探します.(「2辺とその間の角」または「1辺のその両端の角」で示すことになります.)


【問題】
(1)
 図のように平行四辺形ABCDの1つの対角線AC上にAP=CQとなるように点P,Qをとるとき,BP=DQとなることを証明するために,△ABP△CDQを使うには
(ABCDは平行四辺形,AP=CQ → △ABP△CDQ → BP=DQ の順に示す見通しのとき)
三角形△ABPと△CDQが合同となるための条件のうち,どれを示せばよいか.
 対応する3辺の長さがそれぞれ等しいことを示す.
 2辺とその間の角がそれぞれ等しいことを示す. 
 1辺とその両端の角がそれぞれ等しいことを示す.示す 
(2)
 上の証明の流れは
 
AB=CD・・・・・・(平行四辺形の向かい合う2辺だから)
AP=CQ   ・・・・・・(仮定)
BAP=DCQ・・・・・・(ア)
   
△ABP△CDQ
  ↓
BP=DQ 
となります.(ア)のところにはどんな理由が入りますか.
対頂角は等しい

平行線の同位角は等しい

平行線の錯角は等しい

二等辺三角形の両底角は等しい


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