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証明の進め方


【解説】

「猫ならば動物である.」という文章のように,
「○○ならば□□である.」「PならばQである」という形の文章において○○やPの部分を仮定といい,□□やQの部分を結論といいます.
例1
「正三角形ならば三辺の長さが等しい.」という文章では,仮定は「正三角形」,結論は「三辺の長さが等しい」です.
例2
「x>1ならばx>0」という文章において,仮定は「x>1」,結論は「x>0」です.

注意:「ブルドッグならば犬です.」「犬ならば動物です.」
この二つの文章において「犬」は結論にも仮定にもなっています.このように「犬」だけを取り出しても,仮定なのか結論なのかは決まっていません.文章を決めないと仮定か結論かは決まりません.


「猫は動物である.」という文章は数学上は,「猫ならば動物である.」を省略していったものと考えます.だから,この場合,仮定は「猫」,結論は「動物」です.
例3
「雪は白い.」という文章において,「雪」は仮定,「白い」は結論です.
【問題】
 次の文章を仮定と結論に分けて考えるとき,仮定の部分を示しなさい.
 
10の倍数ならば5で割り切れる.
正三角形ならば三辺の長さが等しい.
a−b>0ならばa>bである.
 次の空欄に適する言葉を漢字で入れなさい.
「nの2乗が奇数ならばnは奇数である.」において「nの2乗が奇数」の部分をといい,「nは奇数である」の部分をといいます. 



 もとの文章「金ならば光る.」に対して,仮定と結論を取り替えたもの「光るならば金である.」としたものをもとの文章のといいます.
例4
「x=0ならばx2=0」の逆は「x2=0ならばx=0」です.
例5
「猫ならば動物である」の逆は「動物ならば猫である」です.
もとの文章が正しくても,逆は正しいことも,正しくないこともあります.上の例では,例4の逆は真ですが例5の逆は真ではありません.次の例は,逆が真でない有名な例です.
例6
「金ならば光る.」の逆は「光るならば金である.」
 
逆は必ずしも真でない.

 「△ABCにおいて,2辺の長さが等しいならば両底角は等しい.」の場合において「2辺の長さが等しい」は仮定で,「両底角は等しい」は結論ですが,「△ABCにおいて」は前提といいます.前提は,以下の文章をいう枠組みを示しています.
 内容を正確に表現するためには,前提をはっきりさせなければならないことがあります.例えば,「偶数でないならば奇数である」という文章は,「整数において,偶数でないならば奇数である」の意味ならば正しいのですが「どんな場合でも,偶数でないならば奇数である」といえば正しくありません.(偶数でないものには小数や分数もあります.)
 前提は,逆にとっても前提とします.
例7
 「△ABCにおいて,2辺の長さが等しいならば両底角が等しい.」の逆は「△ABCにおいて,両底角が等しいならば2辺の長さが等しい.」です.
例8
 「日本の山の中で,一番高い山は富士山です.」の逆は「日本の山の中で,富士山は一番高い山です.」となります.
【問題】
 次の文章のが正しいかどうか答えなさい. 
 
x>0,y>0ならばxy>0
 
2つの三角形が合同ならば対応する3辺はそれぞれ等しい. 
  
直線,m,nについて,m,mならばである. 

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